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Composizione di moti armonici



Premessa.

Il moto armonico è un moto oscillatorio rettilineo. La posizione x, dell'oggetto che si muove, è direttamente proporzionale all'accelerazione (a) :

a = - w2x w = 2 p n        

(n=frequenza, p=pigreco)

 La legge oraria del moto armonico si può esprimere come  x = A cos(wt) , dove A è l'ampiezza massima.

Grafico della legge oraria di un moto armonico con periodo = 2 sec e ampiezza massima A=5 m.

Asse y: posizione
Asse x: tempo

Composizione di moti armonici perpendicolari.

Un pendolo, che compie oscillazioni di ampiezza molto piccola rispetto alla lunghezza, si muove di moto armonico. 
Il periodo dipende dalla lunghezza secondo la relazione:

Un caso interessante da analizzare si ha quando il pendolo viene fatto oscillare in due dimensioni:
Il moto risultante è la composizione di due moti armonici con la stessa frequenza :

Leggi orarie:

x = A cos(wt)       y = B cos(wt+f1)
f1 = sfasamento tra i due moti.

Si possono prendere in considerazione due casi particolari : f1=0 e   f1=p/2

Composizione di moti armonici perpendicolari con la stessa frequenza.

1° caso f1=0

x = A cos(wt)       y = B cos(wt)

eliminando cos(wt) si ottiene l'equazione della traiettoria:

y = (B/A) x            ( retta passante per l'origine)

Il pendolo oscilla tra gli estremi del segmento PQ passando per l'origine

2° caso f1=p/2

Le leggi orarie per i moti secondo i due assi sono:

x = A cos(wt)       y = B cos(wt+p/2)

equivalenti a                  x = A cos(wt)       y = -B sen(wt)   sommando il quadrato della prima al quadrato della seconda si ottiene l'equazione della traiettoria:

x2/A2 + y2/B2 = 1       (ellisse con semiassi A e B)

Traiettoria ellittica

Nel caso in cui le ampiezze massime A e B risultino uguali il pendolo oscilla descrivendo una circonferenza.

Consideriamo ora il caso della composizione di moti armonici con frequenze diverse.

Composizione di moti armonici perpendicolari con frequenza diversa.

Si suppone, ora, che le frequenze siano diverse.

Leggi orarie:            x = A cos(w1t)       y = B cos(w2t+f)

Dalla prima legge si ha cos(w1t) = x/A, utilizzando la funzione inversa del coseno (arcos x), si ha t = 1/w1arcos(x/A) e sostituendo nella seconda legge si ottiene l'equazione della traiettoria:

 y = B cos(w2/w1arcos(x/A)+f)

L'equazione assume un particolare aspetto nel caso in cui f=0 e w2 = 2w1 infatti semplificando si ottiene:

y = B cos(2w1/w1arcos(x/A))  N y = B cos(2arcos(x/A))   N 
 y = B (2cos2(arcos(x/A)-1)

y = B (2x2/A2--1)     equazione di una parabola con vertice V(0,-B)

Esempio di traiettoria di un punto soggetto a due moti armonici perpendicolari in fase e con frequenze una doppia dell'altra.

B=20  A=10

Esperienze con il pendolo
Composizione di moti armonici perpendicolari con la stessa frequenza. (1)

1° caso f1=0

Leggi orarie:               x = A cos(wt)       y = B cos(wt)

Equazione della traiettoria:    y = (B/A) x            ( retta passante per l'origine)

Per verificare sperimentalmente il tipo di traiettoria si può utilizzare un pendolo semplice e lo si fa oscillare partendo da un punto distante A dall'asse y e B dall'asse x.
I due moti armonici in questo caso risultano in fase, infatti le distanze x e y si annullano e raggiungono il massimo e minimo valore allo stesso istante.

La traiettoria risulta rettilinea.

2° caso f1=p/2

Leggi orarie :     x = A cos(wt)       y = B cos(wt+p/2)

x2/A2 + y2/B2 = 1       (ellisse con semiassi A e B)

Per verificare la traiettoria ellittica si porta il pendolo in A (asse x) e si lancia in direzione y.

In questo caso le frequenze dei due moti x e y sono uguali, la lunghezza della corda è costante, ma risulteranno sfasati di p/2.
Infatti alla partenza x ha il valore massimo A mentre  y = 0, dopo un quarto di periodo x = 0 e y ha il valore massimo B. 

Segue il caso della composizione di moti armonici con frequenze diverse.

Composizione di moti armonici perpendicolari con frequenza diversa. (2)

Si suppone, ora, che le frequenze siano diverse.

Leggi orarie:            x = A cos(w1t)       y = B cos(w2t+f)

Equazione della traiettoria:     y = B cos(w2/w1arcos(x/A)+f)

Nel caso in cui f=0 e w2 = 2w1           y = B (1-2x2/A2)      
(equazione di una parabola con vertice V(0,B) )

Per verificare sperimentalmente il tipo di traiettoria occorre costruire un pendolo particolare:

Disposte le tre funicelle (linea rossa) come in figura, se le misure sono esatte, il pendolo oscillerà con un periodo di un secondo in direzione x e di due secondi in direzione y (posto g=9.81m/s2).

La frequenza del moto x risulterà doppia della frequenza del moto y, liberando la massa da un punto P distante A dall'asse y e B dall'asse x si osserverà come traiettoria un ramo di parabola.

Modificando le lunghezze verticali, è possibile ottenere altre combinazioni di frequenze e traiettorie. 

Per studiare altre situazioni puoi provare la simulazione in Excel (in formato zip)

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