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Orbita di un satellite
Equazione della traiettoria di un satellite lanciato, con velocità iniziale Vo, da un punto S posto a distanza Ro dal centro della Terra.
lancio.GIF (1142 byte)

La Terra è posta nel punto T e il satellite nel punto S

L'equazione della traiettoria, dipende sostanzialmente  dalla velocità di lancio Vo e dalla distanza Ro.(la direzione di Vo è, al momento del lancio, perpendicolare a ST)

Da questi due parametri dipendono l'energia cinetica Ec=(mVo2)/2 , l'energia potenziale Ep = -G Mm/Ro e quindi l'energia complessiva

E = Ec + Ep

Se E < 0 e la velocità è maggiore di un valore minimo, il satellite descrive un'orbita ellittica attorno alla Terra posta in uno dei due fuochi.

buca.gif (17758 byte)

Per comprendere come sia necessaria un'energia negativa perchè il satellite resti legato alla Terra si veda l'esempio di una sfera posta in una buca (v.fig.).

Nel modello la sfera è soggetta al campo gravitazionale e il riferimento zero per l'energia potenziale (Ep) è fissato in corrispondenza del piano orizzontale.

Se E < 0 la sfera non può lasciare la buca e si muove in spazi tanto più ampi quanto Ep si avvicina a 0, scambiando continuamente energia da potenziale in cinetica e viceversa.

ellisse1.GIF (856 byte)

Ro distanza tra il punto di lancio e la Terra
R1 distanza tra la Terra e il satellite posto nel punto opposto a
quello di partenza
Vo velocità di lancio
V1 velocità nel punto opposto a quello di lancio
M massa della Terra
m massa del satellite
a semiasse maggiore dell'ellisse, a=(Ro+R1)/2
b semiasse minore dell'ellisse
c distanza focale

L'equazione delle traiettoria può essere determinata applicando:

  • il principio di conservazione dell'energia

  • il principio di conservazione del momento angolare

nei punti a distanza Ro ed R1 dalla Terra.

Image37.gif (2017 byte)

con opportune semplificazioni si ottiene R1: Image38.gif (1362 byte)
tenendo presente che a = ( Ro+R1 )/2 si ha: Image39.gif (1325 byte)
ed essendo c = a - Ro si ottiene: Image40.gif (1441 byte)
dalla relazione b2= a2 - c2 si ha : Image41.gif (1447 byte)
e infine l'equazione della traiettoria: Image42.gif (2073 byte) (1)

Forma dell'orbita

orbita1.bmp (106838 byte)

La forza gravitazionale agente tra il satellite S e la Terra S dipende dalla distanza r=ST, tale forza produce una accelerazione con lo stesso nel verso e direzione ST che può esser scomposta in una componente tangenziale at ed una centripeta ac.

Se l'accelerazione centripeta ac è costante l'orbita è circolare altrimenti è ellittica

La velocità che consente un'orbita circolare si ottiene ponendo, per l'ellisse, la condizione a=b o c=0. Se si pone quest'ultima condizione nell'espressione di c nella pagina precedente si ottiene:

Image44.gif (1211 byte)

che esprime la velocità di lancio a distanza Ro perchè l'orbita sia circolare.
Allo stesso risultato si arriva ponendo Ro=R1, o eguagliando la forza centrifuga a quella gravitazionale.

La velocità massima per l'orbita ellittica deve essere inferiore alla velocità di fuga che si ottiene ponendo la condizione

 Image45.gif (1378 byte) dalla quale si ha :Image46.gif (1300 byte)

Riepilogando si possono avere 5 tipi di orbite:
Vo < Vc

Se Ro>R1, si ha una orbita ellittica con la Terra nel fuoco più lontano al punto di lancio, la velocità di lancio deve, tuttavia, essere maggiore ad un valore minimo Vmin, altrimenti l'ellisse interseca la Terra.

Detto RT , il raggio della Terra, si ha:

Image48.gif (1496 byte)
Vo = Vc

Se Ro=R1, la Terra è posta al centro si ha un'orbita circolare
Vo > Vc

Se Ro<R1, si ha una orbita ellittica con la Terra nel fuoco più vicino al punto di lancio
Vo = Vmax

orbita parabolica

Vo > Vmax

orbita iperbolica

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Il programma simula il lancio di un satellite da un punto di coordinate note e con una certa velocità iniziale. Nella simulazione si considera il moto come una successione di tanti moti uniformemente accelerati della durata di un tempo dt.

Per iniziare conviene assegnare a dt un valore molto piccolo e aumentarlo poi progressivamente fino al completamento della traccia dell'orbita

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